Número de oro $\phi $

 

Autor: Ing Jorge Carlos Carrá

 

También es llamado número áurico o proporción divina, Como veremos luego, aparece en la naturaleza, en el arte y en el diseño.

Si se divide a un segmento $a$ en dos partes $x$ e $y$ ($a=x+y$), $\phi $ es la relación:

MATH

Es decir es la relación entre el segmento mayor y el menor, siempre que la misma sea igual a la relación entre el total y el segmento mayor.

A $x$ se lo llama en general medio proporcional entre $a$ e $y$. En este caso particular $x$ recibe el nombre de segmento áureo de $a$, (siempre es el mayor de ambos subsegmentos) y a $y$ se lo denomina el resto.

Obtención del valor de $\phi $

Si reemplazamos $a$ por su expresión, se obtiene:

MATH

De donde se obtiene la ecuación de segundo grado:

MATH

Sus raíces son:

MATH

El valor positivo 1.618 (número irracional) es el número de oro. La razón de su importancia la veremos luego en las propiedades.

Rectángulo de oro

Es el rectángulo cuyos lados tienen como relación al número de oro $\phi $

Obtención en forma geométrica sencilla de un rectángulo áureo.

Dibujamos un cuadrado de lado $a$ y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo que se observa en la figura se obtiene que la hipotenusa es MATH: Por lo tanto el lado mayor del rectángulo será MATH MATH

Finalmente la relación entre ambos lados del rectángulo será MATH, es decir $\phi $.


rectangulo aureo1.jpg

Propiedades matemáticas

Te comentaré aqui algunas de las interesantes propiedades del número de oro.

1 Relación entre el segmento áureo y su resto

MATH

Restando 1 en ambos miembros

MATH

Operando

MATH

Es decir

MATH

O también, colocando al mayor en el numerador ($x$ es mayor que $x-y$)

MATH

Es decir: si $x$ es el segmento áureo de $a$, entonces $y$ es el segmento áureo de $x$

Este proceso puede seguir indefinidamente.

2 Relaciones en un pentágono


pentagono.jpg

En el interior solo existen los ángulos 36$\U{b0}$,72$\U{b0}$ y 108$\U{b0}$

Llamando $a$ $=diagonal$, $b=lado$, $c=AF$ y $d=FG$, (es decir de mayor a menor) y considerando los triángulos $ABE$, $ABF$ y $AFG$, es sencillo demostrar con trigonometría que las relaciones entre los segmentos mayores y los siguientes menores es $\phi $ (se deja el trabajo al lector):

Es decir:

MATH

Y también:

MATH

La estrella que observás en el interior, llamada estrella pentagonal, fue el símbolo de los pitagóricos. Ellos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico en el cual solo tenían lugar los números irracionales. Sin embargo, el hecho de que se encontrara el número de oro (irracional) en su interior, es una casualidad.

3 Espiral logarítmica

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta por lo visto en la propiedad 1, que el rectángulo EBCF es también áureo. Si repetimos la operación y después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Se puede obtener asi una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.


espiral.jpg

4 Fracciones contínuas

Hemos visto que MATH. Si reemplazamos en forma sucesiva la $\phi $ del segundo miembro por $1+\frac{1}{\phi }$, se obtiene la siguiente expresión, llamada en matemáticas fracción continua.

MATH

En general una fracción contínua tiene números arbitrarios $a_{n}$ antes del signo +

MATH

Por sencillez, se emplea la siguiente notación:

MATH

Con esta notación, el número de oro $\phi $ puede expresarse como la fracción contínua:

MATH

5 Sucesión de Fibonacci

Leonardo de Pisa, 1170-1240 era un rico comerciante italiano, más conocido como Fibonacci y fue uno de los más grandes matemáticos medievales. El apodo del padre de Leonardo, era Bonacci (bonachón). por lo cual Leonardo recibió el apodo de Fibonacci ( por filius Bonacci, hijo de Bonacci)

De sus viajes trajo de la cultura árabe el sistema de numeración arábigo (el que usamos) el cual reeemplazó al romano.

A él se debe la siguiente sucesión de números, a cada uno de los cuales lo llamaremos $F_{n}$.

La ley de formación es: cada uno de ellos es la suma de los dos anteriores.

MATH

Esta sucesión se origina en el siguiente problema:

Calcular el número de parejas de conejos que se tendrán al cabo de un año, suponiendo que:

a) Los conejos demoran un mes en llegar a la adultez y procrearse.

b) Todos los meses pueden procrearse.

c) En cada procreación nace una pareja y no muere ninguno.

La explicación surge de observar que por ejemplo: MATH

¿Pero que tiene que ver la sucesión de Fibonacci con el número de oro?.

Si realizamos el cociente entre dos valores sucesivos de la sucesión. $F_{n+1}$ y $F_{n}$, se obtiene un número que tiende a $\phi $ cuando MATH

Demostración

Si se sabe que ese cociente tiene límite, es lícito el siguiente razonamiento:

MATH

Por lo tanto:

MATH

Ecuación áurea de donde como ya sabemos (ver primer párrafo), al resolverla resulta $L=\phi $

Aplicaciones

Muchas de las apariciones del número de oro tienen que ver con valores arquitectónicos y estéticos.

Desde la antiguedad se consideró que los elementos que guardaran esta proporción presentan una relación armoniosa.
Cito a continuación algunas estructuras que la presentan.

Partenon


partenon.jpg

El rectángulo mayor ABCD es áureo es decir:

MATH

También son áureos:

MATH

Pirámides

En la gran pirámide de Keops, el cociente entre la altura de la pirámide y la mitad de cada uno de los lados de la base es $\sqrt{\phi }$ y la relación entre la altura de cada triángulo y la mitad de cada uno de los lados de la base es $\phi $
Este es el primer uso conocido del número áureo.


piramides.jpg

Leonardo Da Vinci

Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron los griegos y romanos, fueron plasmadas en el siguiente dibujo de Leonardo da Vinci. Luego fue utilizado por Luca Pacioli para ilustrar su libro La Divina Proporción editado en 1509.


davinci.jpg

En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Como tarea puedes dibujar como en la figura, un círculo con centro en el ombligo y luego el cuadrado indicado. Una persona armoniosa (según Luca Pacioli) presentará la relación entre el lado del cuadrado y el radio del círculo igual a $\phi $.

A mediados del siglo XIX (1850), el alemán Zeisig dedicó 21 años de su vida para medir al evolución de esta relación en una persona cuyo nombre la historia no registra. Con el seguimiento de este ombligo observó que esta relación entre la altura total y la distancia entre el ombligo y el pie, se iniciaba en alrededor de 2 (recién nacido) y se estabilizaba en aproximadamente 1.625. ¡menudo trabajo! Sin embargo este cálculo podría ser de interés como aplicación de una clase de estadística en una escuela, aplicado a personas de distintas edades.

Rostro matemáticamente hermoso

Llamando:

"a" a la distancia desde el comienzo de la frente hasta la punta del mentón;

"b" a la distancia entre el mentón y la línea de unión de los párpados;

"c" a la distancia desde el comienzo de la frente hasta la línea de unión de los párpados;

El rostro matemáticamente hermoso es el que guarda la siguiente proporción:

MATH

Es decir $b$ es el segmento áureo de $a$. ¿Como anda tu belleza, matemáticamente hablando?

Naturaleza: Zoología

La espiral logarítmica (ver propiedad matemática en un párrafo anterior) gobierna el crecimiento armónico de muchas especies animales y vegetales, por ejemplo el caracol .


caracol.jpg

Naturaleza: Botánica

La parte de la botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo de los tallos de las plantas se denomina Filotaxia.

Si tomamos la hoja de un tallo y contamos el número de hojas a la que llamaremos $n$, hasta encontrar otra hoja con la misma orientación, este número es, por regla general, un término de la sucesión de Fibonacci. Además las hojas se distribuyen en forma de espiral. Si mientras contamos dichas hojas vamos girando el tallo, el numero de vueltas $m$ que debemos dar a dicho tallo para llegar a la siguiente hoja con la misma orientación resulta ser también un término de la sucesión.

Se llama característica del tallo a la fracción $\frac{n}{m}$. En el olmo es 2/1 (dos hojas en un giro), en el álamo 5/2 (cinco hojas en dos giros), en el sauce llorón 8/3 y en el almendro 13/8. Si representamos por $F_{n}$ el término que ocupa el lugar $n$ en la sucesión de Fibonacci, en la mayoría de los casos la característica viene dada por el cociente entre valores consecutivos de la sucesión o entre valores alternados en dos. Es decir: MATH o MATH. Así, en el caso del sauce llorón es MATH. Por la conexión entre una sucesión de Fibonacci y el número de oro, podemos decir que la característica tiende al número de oro.

Las "hojas" de una piña de pino tienen, por regla general, una característica de 5/3, 8/5 o 13/8 (experimentalo la próxima vez que te encuentres con una), presentando propiedades similares las hojas de las lechugas, los pétalos de las flores, las ramas de las palmeras, etc.

En nuestra vida diaria

El hombre ha utilizado los rectángulos áureos para diseñar las tarjetas de crédito, el carnet de identidad, los paquetes de cigarrillos,etc. Si sos escéptico mide alguno de estos rectangulos y halla sus proporciones.

También se usan para diseñar dimensiones de libros, cuadros, tarjetas postales, estampillas, ventanas, camas, ubicación del título en el lomo de un libro, etc.

Existen muchísimas otras propiedades y aplicaciones referentes al número de oro $\phi $, en.la música , la pintura, la naturaleza, etc. La idea de esta nota es presentártelo y luego tu curiosidad hará el resto. Si buscás, vas a encontrar muchas propiedades o aplicaciones interesantes. Cuando las encuentres, séría muy bueno que las compartieras con todos nosotros.



Fuentes:

Junta de Andalucía
Aprehender.Net